유한 퍼텐셜 우물의 산란

고전역학에서는 입자의 운동에너지가 퍼텐셜 에너지 장벽보다 낮으면 장벽을 통과할 수 없다.

그러나 양자역학은 입자가 퍼텐셜 에너지 장벽을 통과할 확률이 0이 아님을 밝혀주며, 이를 양자 터널링이라고 부른다.

 

한편 입자의 운동에너지가 퍼텐셜 에너지 장벽보다 높으면 고전역학적으로 입자는 당연히 장벽을 통과할 수 있다.

그러나 양자역학에서는 입자가 장벽을 통과하지 못하고 되튀어 돌아올 확률이 존재한다.

 

이하에서는 유한 퍼텐셜 우물을 향해 날아가는 자유 입자가 이 우물을 100% 투과하는 특별한 조건이 있음을 보이고자 한다.

이 조건은 무한 퍼텐셜 우물의 결과와도 관계가 있어 양자역학이 설명하는 흥미로운 현상의 예가 된다.

 

1차원 공간의 퍼텐셜 에너지 $U(x)$가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$$ U(x) = \left\{ \begin{array}{ll} U_0 &( x<0 ) \\ 0 &(0 <x< L) \\ U_0 &(x>L) \end{array} \right. $$

$x = -\infty$에서 출발한 자유입자의 투과율이 $T=1$이 될 필요조건은 입자의 에너지가

$$ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} , \quad E_n >U_0 $$

인 것이다.

 

[증명]

에너지 $E$를 갖는 입자에 대한 시간 비의존적 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + U\psi = E\psi $$

이 방정식은 영역에 따라 다음과 같은 형태를 가진다.

$$ \begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + U_0 \psi &= E\psi &&(x<0,~x>L) \\ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} &= E\psi &&(0<x<L) \end{aligned} $$

식을 정리해 다음을 얻는다.

$$ \begin{aligned} \frac{d^2\psi}{dx^2} &= - \frac{2m(E-U_0)}{\hbar^2} \psi &&(x<0, ~ x>L) \\ \frac{d^2\psi}{dx^2} &= - \frac{2mE}{\hbar^2}\psi &&(0 <x< L) \end{aligned} \qquad (1) $$

 

2계 선형 정규 미분방정식의 해는 일차 독립인 두 함수의 일차 결합으로 표현된다. 속박 상태의 파동함수는 $\sin(x),~\cos(x)$함수를 사용하는 것이 수학적으로 단순하지만, 지금 다루는 자유입자의 경우는 오일러 관계식 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$을 활용해 $e^{ix},~ e^{-ix}$를 활용하는 것이 더 단순하다.

 

방정식(1) 의 일반해는 다음과 같다.

$$ \psi (x) = \left\{ \begin{array}{ll} Ae^{ik_1x} + B e^{-ik_1x} &(x<0) \\ Ce^{ik_2x} + De^{-ik_2x} &(0<x<L) \\ Fe^{ik_1x} + Ge^{-ik_1x} &(x>L) \end{array} \right. $$

$$ k_1 = \sqrt{\frac{2m(E-U_0)}{\hbar^2}}, \quad k_2 = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$

시간 의존 슈뢰딩거 방정식의 변수분리를 생각하면 실제 파동함수는 $\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\omega t},\quad E=\hbar \omega$의 형태를 가지므로 $e^{ik_1 x}$와 $e^{ik_2 x}$는 오른쪽으로 진행하는 파동을 의미하고, $e^{-ik_1x}$와 $e^{-ik_2x}$는 왼쪽으로 진행하는 파동을 의미한다.

 

지금의 상황은 입자가 $x=-\infty$에서 날아와 산란되는 상황이므로 $x=+\infty$에서 입자가 날아오는 항인 $G$는 0으로 둔다.

 

파동함수 $\psi$와 이것의 1계 미분 $d\psi/dx$은 $x=0$와 $x=L$에서 연속성(continuity)을 가진다. 따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{aligned} \psi(0) = A+B &= C+D &(2) \\ \frac{d\psi}{dx}(0)  = ik_1A-ik_1B &=ik_2C-ik_2D &(3) \\ \psi(L) = Ce^{ik_2 L}+De^{-ik_2L} &=Fe^{ik_1L} &(4) \\ \frac{d\psi}{dx}(L) = ik_2Ce^{ik_2L}-ik_2De^{-ik_2L} &=ik_1Fe^{ik_1L} &(5) \end{aligned} $$

(2)와 (3)에서 $B$를 소거하면 다음을 얻는다.

$$ 2ik_1A = i(k_1+k_2)C+i(k_1-k_2)D \qquad (6) $$

(4)와 (5)에서 $D$를 소거하면 다음을 얻는다.

$$ C=\frac{k_1+k_2}{2k_2}e^{i(k_1-k_2)L}F \qquad (7) $$

(4)와 (5)에서 $C$를 소거하면 다음을 얻는다.

$$ D=\frac{-k_1+k_2}{2k_2}e^{i(k_1+k_2)L}F \qquad (8) $$

(7)과 (8)을 (6)에 대입하면 다음을 얻는다.

$$ A = \frac{1}{4k_1k_2}\left[ (k_1+k_2)^2e^{i(k_1-k_2)L}-(k_1-k_2)^2e^{i(k_1+k_2)L}\right]F $$

투과계수(transmission coefficient)는 확률 흐름(probability current)로 정의되는 양으로서, 지금의 상황에서는 단순히 $T=|F|^2/|A|^2$로 계산된다. 따라서 투과계수는 다음과 같이 정리된다.

$$ \begin{aligned} T &= \frac{16k_1^2k_2^2}{\left| (k_1+k_2)^2e^{-ik_2L}-(k_1-k_2)^2e^{ik_2L}\right|^2} \\ &= \frac{4}{\left(\frac{k_1^2}{k_2^2}+\frac{k_2^2}{k_1^2}-2 \right)\sin^2(k_2L)+4} \end{aligned} $$

여기서 $k_1/k_2 = \sqrt{(E-U_0)/E}$을 대입하고 정리하면

$$ T = \frac{4E(E-U_0)}{4E(E-U_0)+U_0^2\sin^2(k_2L)} $$

을 얻는다. 따라서 $T=1$이면 $\sin(k_2L)=0$이고, 따라서 $k_2L = n\pi$이며, $k_2=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$에 의해 $E = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$을 얻는다. □

 

참고로 $E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$는 무한 퍼텐셜 우물(infinite potential well)에서 입자가 가지는 에너지 준위(energy level)들이다. 따라서 유한 퍼텐셜 우물로 날아오는 입자의 에너지가 무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위들 중 하나와 정확히 일치할 경우 입자는 유한 퍼텐셜 우물을 완전 투과하게 됨을 알 수 있다.