로런츠 변환의 유도

관성좌표계 $S$에 대해 또다른 관성좌표계 $S'$가 속도 $v$로 등속도 운동한다고 하자.

좌표계 $S$와 좌표계 $S'$의 $x$좌표축이 속도 $v$의 방향과 나란하며 서로 일치하도록 설정한다.

좌표계 $S$에서 측정한 좌표를 $(x,~t)$, 좌표계 $S'$에서 측정한 좌표를 $(x',~t')$로 표기하자.
(각 좌표계에서 측정된 $y$좌표와 $z$좌표는 항등관계 $y=y'$, $z=z'$를 만족하는 것으로 보고 이하에서 생략하기로 한다.)

로런츠 변환이란 $(x,~t)$와 $(x', ~t')$ 사이의 관계식이다. 이하에서는 특수 상대성 이론의 기본 가정인 상대성 원리와 광속 불변의 원리를 포함한 몇 가지 가정을 토대로 로런츠 변환을 유도하고자 한다.

먼저 다음과 같이 선형 변환(linear transformation)을 가정한다.
$$ \begin{aligned} x' & = Ax + Bt & \qquad (1) \\ x & = A'x' + B' t' & \qquad (2) \end{aligned} $$

선형 변환이란 위 식과 같이 1차항들의 1차결합만으로 이뤄진 변환식을 의미한다. 여기서 $A, ~B, ~A', ~B'$는 $x,~t,~x',~t'$에는 의존하지 않으나 $v$에는 의존할 수 있다.

시간축을 조정해 $S$의 원점($x=0$)과 $S'$의 원점($x'=0$)이 일치하는 순간이 $t=t'=0$이 되도록 설정한다.

좌표계 $S'$의 원점의 운동은 $S'$의 관점에서 $x'=0$로 기술되며, $S$의 관점에서는 $x = vt$로 기술된다. 이를 (1)식에 대입해 다음을 얻는다.
$$ 0 = Av + B \quad \Rightarrow \quad x' = A(x-vt) \qquad (3) $$

한편 좌표계 $S$의 원점은 $S$의 관점에서 $x = 0$로 기술되며, $S'$의 관점에서는 $x' = -vt'$로 기술된다. 이를 (2)식에 대입해 다음을 얻는다.
$$ 0 = A'\cdot (-v) + B' \quad \Rightarrow \quad x=A'(x'+vt') \qquad (4) $$

좌표계 $S'$의 관점에서는 좌표계 $S$가 $-v$의 속도로 운동하고 있으므로 상대성 원리에 의해 식(4)는 식 (3)에서 $v$ 대신 $-v$를 대입하고 $x,~t$와 $x',~t'$를 서로 바꾼 것과 일치해야 한다.

따라서 $A'(v) = A(-v)$가 성립한다.

공간의 등방성(isotropy)을 생각하면 $A$는 속도 $v$의 크기 $|v|$에만 의존하여 $A(v) = A(-v)$를 만족해야 한다.

따라서 $A' = A$이다.

(3)을 (4)에 대입하고 $t'$에 대해 정리하면 다음을 얻는다.
$$ t' = At + \frac{1}{Av} \left( 1 - A^2 \right) x \qquad (5) $$

시각 $t=t'=0$에 $x=x'=0$에서 $x$축의 양의 방향으로 빛이 출발했다고 하자.

광속 불변의 원리에 의해 좌표계 $S$에서도, 좌표계 $S'$에서도 빛의 속도는 동일한 값 $c$이다.

따라서 이 빛의 끝단의 위치는 좌표계 $S$에서 $x = ct$로 기술되고, 좌표계 $S'$에서는 $x' = ct'$로 기술된다.

식 $x' = ct'$의 좌변에 (3)을, 우변에 (5)를 대입해 다음을 얻는다.
$$ A(x-vt) = cAt + \frac{c}{Av} \left( 1 - A^2 \right)x \qquad (6) $$

식 $x=ct$를 활용해 $x$를 소거하면 다음을 얻는다.
$$ A^2(c-v)t = cA^2t + \frac{c^2}{v} \left( 1 - A^2 \right) t \qquad (7) $$

양변의 $t$를 소거하고 정리하면 다음을 얻는다.
$$ A^2 = \frac{1}{1 - (v/c)^2} \qquad (8) $$

(8)을 (5)에 대입하고 정리하면 다음을 얻는다.
$$ t' = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2} x \right) \qquad (9) $$

여기서 $\gamma$는 다음과 같다.
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \qquad (10) $$

이를 로런츠 인자(Lorentz factor)라고 부른다.

(8)을 (3)에 대입해 다음을 얻는다.
$$ x' = \gamma \left( x - vt \right) \qquad (11) $$

이로써 로런츠 변환 (9)식과 (11)식이 유도됐다.